课程简介
这门课会讲什么？
《高等代数（二）》是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学等数学类专业的专业基础课之一，是数学类专业报考研究生的必考科目之一，具有高度的抽象性、严密的逻辑性等特点。它一方面为数学专业和其它专业的学习者提供一些进一步学习所需要的基础理论和基本工具，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用.本课程主要讲述内容包括二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵和欧几里得空间，重点围绕线性空间上的可逆变换、合同变换、相似变换、正交变换等线性变换的相关知识，讨论二次型的标准形、矩阵的相似对角化、λ-矩阵的若尔当标准形、有理标准形、实对称矩阵的标准形等核心内容。
你将收获什么？
通过学习本门课程，你将得到如下收获：
1. 系统的学习二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵以及欧几里得空间等代数学的基本理论、思想和方法，为后续数学类各专业课程学习及进入更高层次的学习打好基础。
2. 通过学习高等代数，可以培养各位同学的逻辑推理能力、抽象思维能力和代数运算能力，为进一步深造打好坚实的基础。
适合什么人学习？
1. 数学与应数学、信息与计算科学、统计学三个数学类专业的在校生学习。
2. 准备报考数学类专业研究生的同学。
3. 人工智能专业、大数据专业、物理专业等需要较高数学基础的非数学类专业的学生学习。
3. 对高等代数感兴趣的人。
课程大纲
课程章节
- 课程学习指导
- 第五章 二次型
- 第六章 线性空间
- 第七章 线性变换
- 第八章 lambda-矩阵
- 第九章 欧几里得空间
课程学习指导
1.1 课程思政
1.2 课程简介
1.3 教学日历
1.4 重点与难点
1.5 相关链接
1.6 参考资料
1.7 预备知识
第五章 二次型
2.1 5.1.1 二次型及矩阵表示
2.2 5.1.2 线性替换与合同矩阵
2.3 5.2.1 标准形定义与配方法
2.4 5.2.2 配方法的矩阵形式
2.5 5.2.3 配方法的初等变换形式
2.6 5.3.1 唯一性-规范形
2.7 5.3.2 唯一性-惯性定理
2.8 5.4.1 正定二次型与正定矩阵
2.9 5.4.2 顺序主子式法
2.10 5.4.3 例题讲解
2.11 5.4.4 二次型分类
2.12 章节测试
第六章 线性空间
3.1 6.1.1 映射的性质
3.2 6.1.2 可逆映射
3.3 6.2 线性空间
3.4 6.3 维数-基-坐标
3.5 6.4 基变换与坐标变换
3.6 6.5 .1 子空间
3.7 6.5.2 生成子空间
3.8 6.6 交与和
3.9 6.7.1 直和
3.10 6.7.2 直和判定一
3.11 6.7.3 直和判定二
3.12 6.7.4 直和例题
3.13 6.8.1 线性空间的同构
3.14 6.8.2 同构例题
3.15 章节测试
第七章 线性变换
4.1 7.1 线性变换的定义
4.2 7.2 线性变换的运算
4.3 7.3 线性变换的逆变换
4.4 7.4 线性变换-基
4.5 7.5 线性变换的矩阵
4.6 7.6 相似矩阵
4.7 7.7 特征值与特征向量
4.8 7.8 特征子空间
4.9 7.9 哈密尔顿凯莱定理
4.10 7.10 对角矩阵
4.11 7.11 对角化方法
4.12 7.12 值域与核
4.13 7.13 值域与核例题
4.14 7.14 不变子空间
4.15 7.15 不变子空间直和分解
4.16 章节测试
第八章 lambda-矩阵
5.1 8.1 lambda-矩阵
5.2 8.2 标准形
5.3 8.3 行列式因子
5.4 8.4 不变因子
5.5 8.5 不变因子例题
5.6 8.6 初等因子
5.7 章节测试
第九章 欧几里得空间
6.1 9.1 向量内积、长度、夹角
6.2 9.2 标准正交基
6.3 9.2.2 标准正交基例题
6.4 9.2.2 正交矩阵
6.5 9.3 欧氏空间同构
6.6 9.4 正交变换
6.7 9.5 正交子空间
6.8 9.6 对称矩阵标准形
6.9 9.7 例题讲解
6.10 章节测试
