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第一章函数
函数是微积分学研究的主要对象，它是通过反映变量间的对应关系来描述现实世界的。本章在回顾函数概念和性质的基础上，重点介绍反函数、反三角函数以及复合函数的构成与特征，并对基本初等函数的图像、性质进行汇总，为微积分的学习奠定良好基础。
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●1.1初识函数
本节主要介绍函数概念的发展历程，区间、邻域及函数的基本概念，分析函数的构成要素，求解函数定义域的方法。
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●1.2走近函数
本节主要介绍函数的表示法、函数的四种特性及其图像特征，了解函数及其特性在生活中的应用。
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●1.3反函数
本节主要介绍反函数的概念、性质以及存在的条件，分析求反函数的方法，在此基础上介绍了常见的反三角函数的表达式、性质、图像特征。
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●1.4复合函数
本节从游戏中的数学引出复合函数的定义，主要介绍复合函数的复合条件与分解技巧。
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●1.5初等函数
本节主要回顾六类基本初等函数的性质及图像特征，介绍初等函数的定义与特征。
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第二章极限与连续
极限方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的数学方法，极限是微积分学的基本概念，连续、导数、定积分等概念都是通过极限来表述的，因此掌握极限的思想与方法是学好微积分学的前提条件。本章重点介绍函数极限的概念，以及求极限的方法和函数的连续性，为微积分的学习打下基础。
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●2.1数列的极限
数列是特殊的函数，本节通过实际案例—“割圆术”问题引出概念，介绍了数列极限的概念及数列极限的计算方法。
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●2.2一点处的极限
本节通过实际案例--人影长度问题引出概念，介绍了当自变量趋于一点时函数极限的概念，左右极限的概念及函数极限的计算方法。
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●2.3无穷大时的极限
本节通过实际案例--谣言传播问题引出概念，介绍了当自变量趋于无穷大时函数极限的概念及函数极限的计算方法。
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●2.4无穷小与无穷大
本节课从诗情画意中走近无穷小，介绍无穷小、无穷大的概念、性质，两者之间的关系及相关的计算，为极限的运算提供了一种思路。
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●2.5极限的运算
介绍了极限的性质、极限的四则运算法则以及常见的极限运算举例，在此基础上演示了用Matlab求极限的一般步骤。
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●2.6极限公式1
介绍了极限公式1的类型特征、取值规律、图像规律及公式1在极限运算中的应用方法和技巧。
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●2.7极限公式2
本节从复利问题引入极限公式2，主要介绍了公式的产生过程、基本类型及在极限运算中的应用方法和技巧。
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●2.8函数的连续性
通过实际案例—彩带连续问题引出概念，介绍了函数连续性的概念、左右连续的概念及函数连续性的判断方法。
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●2.9函数的间断点
本节主要介绍了函数间断点的定义、间断点的分类及间断点的判断方法。
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第三章导数与微分
微分学是高等数学的重要组成部分. 导数反映了函数的变化率，如物体运动速度、电流强度、人口增长率、化学反应速度、以及生物繁殖率等；而微分反映了当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值．本章将在函数极限的基础上，讲述导数与微分的概念，建立整套导数公式和法则，从而系统地解决函数的求导问题。
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●3.1导数的概念
本节通过解决变速直线运动的速度、平面曲线的切线斜率两个经典案例，介绍了导数的概念，左、右导数与导数间的关系，以及导数的几何意义。
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●3.2求导公式
本节利用导函数定义，推导出了常函数、三角函数、对数函数等部分基本初等函数的导数公式，并举例讨论了可导与连续间的关系。
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●3.3求导法则
本节介绍了和、差、积、商求导法则，并利用该法则推导出了六类基本初等函数的求导公式，在此基础上介绍了复合函数求导法则，及用Matlab软件求解导数的一般操作步骤。
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●3.4隐函数求导
本节在复合函数求导的基础上，介绍了隐函数求导的基本思想和方法，继而介绍了对数求导法等重要方法以及高阶导数的概念与计算，让学生具备了较为全面的导数运算能力。
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●3.5函数的微分
本节通过正方形面积增量的近似值计算，介绍了微分的基本概念、基本公式、基本运算及几何意义，同时介绍了微分在近似计算中的应用，并给出了相应的近似计算公式。
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第四章导数的应用
导数在自然科学、工程技术以及经济领域中，都有着极其广泛的应用，而这些应用的理论基础就是微分学中值定理。本章将在介绍微分学中值定理的基础上，学习利用导数求解未定式极限、判断函数单调区间与极值、最值、函数凹向区间与拐点的方法，并解决一些实际问题。
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●4.1微分中值定理与函数单调性
本节主要介绍了微分学的三大中值定理及两个推论，它们是微分学中的重要理论基础，在此基础上，讨论了函数单调性的判定方法。
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●4.2函数的极值
本节介绍了函数极值的概念、特征及极值存在的必要条件，给出了极值存在的第一、第二充分条件，归纳了求函数极值的一般步骤，并进行了例题演示。
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●4.3函数的最值及应用
本节主要介绍了闭区间上连续函数最值的求法，重点分析了实际问题中的最值问题，并归纳了实际问题中最值问题的求解思路与步骤。
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●4.4函数的凹凸性及拐点
本节主要介绍了函数曲线凹凸性、拐点的定义，并分析了凹凸曲线的特征，给出了曲线凹凸性的判定定理，归纳总结了求函数曲线凹凸性与拐点一般步骤。
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●4.5洛必达法则
本节主要介绍了未定式的概念，给出了求解基本未定式极限的洛必达法则，并通过例题演示了用此法则求极限的一般步骤，在此基础上，给出了求一般未定式极限的思路与方法。
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第五章不定积分
微积分的出现，是数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析，并进一步发展出微分几何、微分方程等。本章主要讲解不定积分的基本概念、原理、性质和计算方法。
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●5.1不定积分的概念
介绍了原函数、不定积分的基本概念、几何意义及性质，指出不定积分与微分（或导数）的互逆性，为积分公式的推导奠定了一定的基础。
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●5.2直接积分法
介绍了不定积分的基本积分公式，及利用基本公式和性质求解简单函数不定积分的方法，即直接积分法，重点演示了使用直接积分法时几种常见的恒等变形。为不定积分的计算拓展了思路。
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●5.3第一类换元积分法
介绍了不定积分的第一换元积分法，即凑微分法，重点分析了凑微分法的思路，归纳了常用的凑微分公式，为不定积分的计算提供了一种新思路、新方法。
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●5.4第二类换元积分法
介绍了不定积分的第二换元积分法，归纳总结了被积函数里含有几种不同根式的不定积分问题的换元方法与步骤，重点讲解了通过三角代换求解不定积分的一般步骤。
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●5.5分部积分法
介绍了被积函数由两种不同类型函数乘积构成的不定积分问题的解法，即分部积分法，给出了分部积分公式，归纳了使用分部积分法时u的选择技巧，为不定积分的计算提供了一种全新的方法。
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第六章定积分及其应用
定积分微积分学的主要内容，它是从大量的实际问题中抽象出来的，可以求解分布不均匀量的总量问题，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．本章首先从几何问题与物理问题出发引出定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法，最后讨论了定积分在几何、物理方面的简单应用。
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●6.1定积分的概念
本节主要介绍了定积分概念的两个引例—曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，根据其结果都是特定和式的极限这个共同之处得出了定积分的概念、记法及相关规定。
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●6.2定积分的性质
介绍了定积分的几何意义和性质，重点演示了利用定积分几何意义计算定积分的值以及利用定积分性质对定积分进行估值和比较，使用积分中值定理计算连续函数的平均值等定积分的简单运算。
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●6.3变上限积分函数
本节由生活中的现象引出了变上限积分函数的概念和相关计算，并推导出原函数存在定理、变上限积分函数的可导性，找到了原函数与定积分之间的联系，为学习定积分的计算奠定基础。
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●6.4牛顿—莱布尼茨公式
本节主要介绍了计算定积分的一种简单、便捷的方法--牛顿-莱布尼兹公式，了解了牛顿和莱布尼兹这两位著名的科学家及他们背后的故事。
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●6.5定积分的计算
本节在定积分概念的基础上主要介绍了定积分的换元积分法及使用技巧，归纳了定积分的分部积分法中u的选择原则，并演示了用数学软件Matlab计算定积分的过程。
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●6.6任意图形的面积
本节主要介绍定积分的微元法及使用微元法求解不规则图形面积的步骤，归纳了X型、Y型图形面积微元的选取方法及面积计算技巧，并展示了微元法在专业案例中的应用。
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●6.7探究立体体积
本节主要介绍用定积分计算平行截面面积已知的立体体积的方法，在此基础上研究了旋转体的体积，得出了体积计算公式，并计算了生活中常见的旋转体的体积。
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●6.8定积分的物理应用
本节主要介绍了定积分在物理学中做功问题、液体压力、转动惯量三个方面的应用，重点分析了微元法在求物理量时的方法步骤。
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第七章常微分方程
当利用数学知识来研究自然界各种现象及其规律时，往往不能直接得到反映这种规律的函数关系，但可以根据实际问题的意义及已知的定律或公式，建立含有自变量、未知函数及未知函数的导数（或微分）之间的关系，这就是所谓的微分方程。通过求解微分方程，可以得到所求函数，因此微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常见的微分方程的解法，并结合实际问题探讨用微分方程建立数学模型的一般思想方法。
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●7.1常微分方程的概念
本节主要介绍了什么是微分方程的基本概念，重点介绍了常微分方程概念、它的阶的确定、是否为线性及微分方程的解有哪些类型，如何判定，明确这些概念对后期微分方程的求解奠定坚实的基础。
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●7.2可分离变量微分方程
本节主要介绍了一类简单的微分方程--可分离变量微分方程，分析了它的特征，给出了其求解方法--分离变量法，并在此基础上利用化归思想介绍了齐次微分方程的特征及解法，演示了如何利用Matlab软件求解微分方程，强调了使用软件求解的要点和注意事项。
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●7.3一阶线性微分方程
本节主要介绍了一阶线性微分方程，分析了方程的特征，探讨了方程的解法--常数变易法，并对常数变易法的求解思路进行剖析，对此方法进行归纳总结，得到了该方法使用的一般步骤及通解公式。
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●7.4可降阶的高阶微分方程
本节主要介绍了三类可降阶的高阶微分方程，此类微分方程的求解思想就是“降阶”，通过分析每类方程的特征，给出了相应的降阶方法，直接积分降阶法及换元降阶法，并对换元函数进行了重点介绍。
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●7.5二阶常系数线性齐次微分方程
本节主要介绍了二阶常系数线性齐次微分方程解的结构及解法，通过分析方程的特征，得出满足方程的最简单函数，进而得到方程对应的特征方程，通过特征根的不同类型及通解的叠加原理，归类得到了该类微分方程通解形式。
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●7.6二阶常系数线性非齐次微分方程
本节主要介绍了二阶常系数线性非齐次微分方程解的构成原理及当方程右端自由项为多项式与指数函数乘积时的解法，通过分析此类方程的特征，推导出方程特解应具备的形式，归纳总结出此类微分方程的特解公式。
