课程简介
数学分析是以微积分为核心，介绍分析学基本思想的基础课程，一般分三个学期开设。《数学分析（一）：一元微积分》主要讲授一元微积分，介绍分析学中定性估计和定量估计的基本方法。
主要内容包括七章：第一章从求和问题出发介绍求和（求面积）与求差之间可以互相转化这一基本思想，引出分析和估计（不等式）之间的关联；第二章从问题出发引出数列极限的概念和基本性质；第三章介绍函数的极限和连续函数的整体性质，以及连续函数的积分；第四章引进导数的概念和基本性质，证明微积分基本公式；第五章介绍一元微分学的应用，包括Taylor公式等；第六章介绍黎曼积分和广义积分，以及积分的几何应用等；第七章总结分析学的基本方法。
本课程的目标是以问题为导向展现微积分的内涵和分析学的基本思想，目标群体是具有中学数学基础、有意学习微积分/数学分析的初学者，或已经学过一些微积分课程，欲进一步掌握微积分内涵的人。通过本课程的学习，学习者能掌握一元微积分中微分和积分这一对矛盾之间的转化规律，以及做定性估计和定量估计的基本手法，体会分析学的思想，并能应用于实际问题。
课程大纲
绪论
1.1 求和与求差
1.2 分析与估计
测验1
数列极限
2.1 数列极限的定义和例子
2.2 数列极限的基本性质
2.3 单调数列的极限
2.4 数列极限的 Cauchy 准则
测验2
连续函数
3.1 函数极限及其基本性质
3.2 无穷大量和无穷小量
3.3 连续函数
3.4 连续函数的整体性质
3.5 连续函数的积分
3.6 积分计算实例
3.7 积分的简单应用
测验3
微积分基本公式
4.1 导数和高阶导数
4.2 微分和全微分
4.3 导数和极值、均值
4.4 微积分基本公式
4.5 计算积分的方法
4.5.1 分部积分
4.5.2 换元积分法
4.5.3 有理积分
4.5.4 无理积分
4.6 简单的微分方程
测验4
微分学的应用
5.1 极值和最值
5.2 折射定律和彩虹
5.3 凸函数
5.4 凸函数进阶
5.5 洛必达法则
5.6 Taylor 公式
5.7 常见函数的 Taylor 展开
5.8 圆周率和自然常数
5.9 Taylor 展开和近似计算
测验5
积分的推广和应用
6.1 Riemann 积分
6.2 可积的充要条件
6.3 Riemann 积分的基本性质
6.4 分部积分之二和第二中值公式
6.5 积分的推广
6.6 广义积分的收敛判别法
6.7 常见的广义积分
6.8 曲线的长度和微元法
6.9 曲面的面积
6.10 等周不等式
6.11 简单立体图形的体积
测验6
拾遗
7.1 闭区间套原理
7.2 有限覆盖定理
7.3 Lebesgue 定理
7.4 上极限和下极限
7.5 Stolz 公式
7.6 微分中值公式与插值公式
7.7 连续性方法举例
测验7
1.1 求和与求差
1.2 分析与估计
测验1
数列极限
2.1 数列极限的定义和例子
2.2 数列极限的基本性质
2.3 单调数列的极限
2.4 数列极限的 Cauchy 准则
测验2
连续函数
3.1 函数极限及其基本性质
3.2 无穷大量和无穷小量
3.3 连续函数
3.4 连续函数的整体性质
3.5 连续函数的积分
3.6 积分计算实例
3.7 积分的简单应用
测验3
微积分基本公式
4.1 导数和高阶导数
4.2 微分和全微分
4.3 导数和极值、均值
4.4 微积分基本公式
4.5 计算积分的方法
4.5.1 分部积分
4.5.2 换元积分法
4.5.3 有理积分
4.5.4 无理积分
4.6 简单的微分方程
测验4
微分学的应用
5.1 极值和最值
5.2 折射定律和彩虹
5.3 凸函数
5.4 凸函数进阶
5.5 洛必达法则
5.6 Taylor 公式
5.7 常见函数的 Taylor 展开
5.8 圆周率和自然常数
5.9 Taylor 展开和近似计算
测验5
积分的推广和应用
6.1 Riemann 积分
6.2 可积的充要条件
6.3 Riemann 积分的基本性质
6.4 分部积分之二和第二中值公式
6.5 积分的推广
6.6 广义积分的收敛判别法
6.7 常见的广义积分
6.8 曲线的长度和微元法
6.9 曲面的面积
6.10 等周不等式
6.11 简单立体图形的体积
测验6
拾遗
7.1 闭区间套原理
7.2 有限覆盖定理
7.3 Lebesgue 定理
7.4 上极限和下极限
7.5 Stolz 公式
7.6 微分中值公式与插值公式
7.7 连续性方法举例
测验7
