课程简介
“数学物理方法（三）——解析函数的应用”是北京大学“数学物理方法（上）”课程中的一部分，介绍留数定理及其应用；Г函数，ψ函数和В函数；线性常微分方程的幂级数解法；Laplace变换及其反演等。学习本课程之前，要求同学们已经完成高等数学的学习，熟练掌握一元微积分知识，了解实数级数的性质，熟悉Taylor级数的计算。还要求已经学过MOOC“数学物理方法（一）——复变函数的微积分”和“数学物理方法（二）——无穷级数”，了解复数和复变积分，熟悉Cauchy型积分，掌握孤立奇点的概念。
课程大纲
留数定理
1.1留数的概念及计算
1.2留数定理及其初步应用
1.3无穷远点的留数
应用留数定理计算定积分
2.1有理三角函数的积分
2.2无穷积分
2.3Jordan引理与补充引理
2.4含三角函数的无穷积分的两种解法
2.5瑕积分
2.6多值函数的积分
Г函数
3.1Г函数的定义与性质
3.2Г函数的解析性
3.3Г函数的解析延拓
ψ函数和В函数
4.1ψ函数和В函数的定义及性质
4.2Г函数两个公式的证明
二阶线性常微分方程的求解
5.1二阶线性常微分方程的特解与通解
5.2微分方程的常点与奇点
5.3方程常点邻域内的解
5.4微分方程解的解析延拓
5.5方程的正则奇点邻域内的解
5.6超几何方程的解
Laplace变换及其反演
6.1Laplace变换的定义及性质
6.2Laplace变换的反演
1.1留数的概念及计算
1.2留数定理及其初步应用
1.3无穷远点的留数
应用留数定理计算定积分
2.1有理三角函数的积分
2.2无穷积分
2.3Jordan引理与补充引理
2.4含三角函数的无穷积分的两种解法
2.5瑕积分
2.6多值函数的积分
Г函数
3.1Г函数的定义与性质
3.2Г函数的解析性
3.3Г函数的解析延拓
ψ函数和В函数
4.1ψ函数和В函数的定义及性质
4.2Г函数两个公式的证明
二阶线性常微分方程的求解
5.1二阶线性常微分方程的特解与通解
5.2微分方程的常点与奇点
5.3方程常点邻域内的解
5.4微分方程解的解析延拓
5.5方程的正则奇点邻域内的解
5.6超几何方程的解
Laplace变换及其反演
6.1Laplace变换的定义及性质
6.2Laplace变换的反演