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绪章绪论
绪论
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●0.1数学分析绪论
课程介绍
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第一章集合与映射
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。学习现代数学，应该由集合入手。本课程主要涉及集合的一些基本概念和问题。映射是集合与集合之间的一种对应关系，数集到数集的映射即为函数。数学分析的主要研究对象为初等
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●1.1集合
本小节主要包括集合的基本概念、运算、有限集与无限集等。
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●1.2映射与函数
本节主要包括映射以及初等函数相关概念，还包括几种函数的表示以及简单特性（有界、奇偶、单调）。为了后续学习，本节准备了两个常用不等式——三角不等式和平均值不等式。
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第二章数列极限
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。本章将要学习数列极限的定义、性质、四则运算以及存在性条件等。数学分析中数列中的元素以及函数的定义域和值域的取值是限制在实数集合内的。因此，为了数列极限和后续的学习，本章还将学习实数系基本定理，包括确界存在定理、单调有界定理、子列定理、闭区间套定理和柯西收敛准则。
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●2.1实数系连续性
本节学习实数系的连续性定理--确界存在定理，它是整个极限理论的基础，由它可导出实数系基本定理其它的定理。本节主要从数系的扩充开始，接着介绍最大（小）数以及上（下）确界的定义，并利用数的表示给出确界存在定理的证明。
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●2.2数列极限
本节包括数列极限定义、性质以及四则运算。本节中我们将详细讲解数列极限的定义。
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●2.3无穷大量
本节内容包括无穷大量的定义、运算性质、待定型、以及求某些待定型极限的Stolz定理。
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●2.4收敛准则
本节包括单调有界收敛定理、闭区间套定理、子列定理、Cauchy收敛原理的内容及其证明，并证明了实数系的基本定理之间等价关系，还包括由单调有界收敛定理而证明的两个重要极限。
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第三章函数极限与连续函数
函数极限是高等数学最基本的概念之一，连续函数以及导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。本章将学习函数极限的定义、性质、四则运算、一些重要极限以及函数极限与数列极限的关系—海涅定理，并将学习函数极限的定义的扩充。在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。本章将学习连续函数的定义、四则运算、不连续点类型、闭区间上连续函数等内容。另外本章还包括无穷小量与无穷大量等相关内容。
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●3.1函数极限
本节主要包括函数极限的定义、性质、四则运算、 函数极限与数列极限的关系—海涅定理、单侧极限、 函数极限定义的扩充等内容。
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●3.2连续函数
本节主要包括连续函数的定义、四则运算、不连续点类型、反函数的连续性、复合函数的连续性。
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●3.3无穷小量和无穷大量的阶
本节主要包括无穷小量的比较、无穷大量的比较、等价量的相关内容。
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●3.4闭区间上的连续函数
闭区间上的连续函数具有一些重要性质，这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的，其中包括有界性与最值存在性、零点存在性、中间值定理以及Cantor定理，并将学习涉及Cantor定理的一致连续性概念。
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第四章微分
微分是函数改变量的线性主要部分，是微积分的基本概念之一。微分的原始思想是函数的自变量有微小变化时，它的因变量的改变也很微小时，能够简便而精确地估计这个改变量。本章内容主要包括微分和导数的概念、导数的意义与性质、导数四则运算和反函数求导法则、复合函数求导法则以及高阶导数和高阶微分。
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●4.1微分和导数
本节主要包括微分概念的导出背景及微分的定义和微分和导数的关系。
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●4.2导数的意义和性质
本节主要包括产生导数的实际背景、导数的几何意义以及单侧导数。
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●4.3导数四则运算和反函数求导法则
本节主要包括从定义出发求导函数、求导的四则运算法则、反函数求导法则的相关内容。
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●4.4复合函数求导法则及其应用
本节主要包括复合函数求导法则、一阶微分的形式不变性、隐函数求导与求微分以及复合函数求导法则的其他应用。
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●4.5高阶导数和高阶微分
本节主要包括高阶导数的实际背景及定义、高阶导数的运算法则以及高阶微分。
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第五章微分中值定理及其应用
微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，是研究函数特性的一个有力工具，它不仅是微分学的重要结论之一，而且在本课程的积分学以及级数理论也发挥着重要作用。本章主要学习微分中值定理，在此基础上学习L’Hospital法则，Taylor公式以及函数微分的应用举例等内容
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●5.1微分中值定理
微分中值定理是一系列中值定理总称，其中包括Rolle定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其它中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。本节将首先学习函数极值与Fermat引理，在此基础上引入微分中值定理，并利用中值定理讨论函数的单调性、凸凹性、证明不等式等。
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●5.2L’Hospital法则
本节主要包括L’Hospital法则的证明以及应用。
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●5.3Taylor公式
本节主要学习带有Peano余项的Taylor公式。
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●5.4函数的Taylor公式及其应用
本节主要包括函数在x=0处的Taylor公式以及它在近似计算、求极限、证明不等式、求曲线的渐进线方程等方面的应用。
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●5.5函数微分的应用举例
本节主要包括函数微分在极值问题、最值问题、函数作图方面的应用举例。
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第六章不定积分
不定积分是积分学中的重要概念之一。本节包括不定积分的概念和运算法则、有理函数的不定积分及其应用三部分内容。
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●6.1不定积分的概念和运算法则
本节主要包括原函数与不定积分的概念以及不定积分的线性运算性质和部分不定积分表。
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●6.2换元积分法和分部积分法
本节主要包括不定积分的第一类换元积分法、第二类换元积分法以及分部积分法。
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●6.3有理函数的不定积分及其应用
本节主要学习有理函数的不定积分的求法，并学习如何求可化为有理函数的不定积分。
