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第一章函数极限和连续
本章是微积分的开篇，是微积分的重要基础，学好本章至关重要。1.函数是微积分的重要研究对象，函数的基本理论已经在初等数学中有比较丰富的阐述，本章所得侧重点是展示函数的映射理解思维，对于函数的构造和性质进行深入的理解和强化。2.极限思想是微积分的钥匙，本章从定义、性质和计算等几个方面展开内容，其中的重要知识包括极限的性质，无穷小和无穷大，两个重要极限和无穷小的比较。3.连续是微积分理论框架的重要条件，其中的核心内容是连读的定义、间断点的类型和闭区间连续函数的性质等。
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●1.1函数的构造（一）
函数的构造（一）
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●1.2函数的构造（二）
函数的构造（二）
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●1.3反三角函数
反三角函数
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●1.4从有限到无限
初等数学主要以有限思维为背景，从有限思维过渡到无限思维是微积分入门的关键。理解无限不能从“数数”的思维角度入手了，要懂得研究对象的构造逻辑。本节从几个富有启发性的例子出发，展示无限对我们思维的冲击，让大家从思维的“碰壁”和结果的合理主动修正自己的认知。
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●1.5数列极限的基本概念
本节从极限的基本思想入手引出极限的基本概念，极限思想的简单理解就是“要多近有多近”，在极限概念中通过“ε-N”语言来描述极限思想。
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●1.6数列极限概念的例题
本节主要通过例题帮助理解极限的概念，主要理解极限定义中“ε”和N的关系。
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●1.7函数极限的概念
本节在大家基本理解极限思想的基础上，把研究对象从数列转移到函数。首先强化了邻域在函数极限中的功能和自变量的变化趋势描述，接着给出了函数极限的概念内容，最后通过例题帮助大家理解函数极限。
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●1.8收敛极限的性质（一）
本节首先从极限的定义的“ε-N”语言入手，介绍极限对于数列（函数）的控制，然后以此为基础介绍收敛数列的两个性质：极限唯一性和有界性。
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●1.9收敛极限的性质（二）
本节以函数极限为背景，介绍了函数收敛的重要性质：局部保号性以及保号性的推论。
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●1.10部分与整体
部分与整体
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●1.11无穷小
本节主要介绍无穷小的相关知识，首先介绍了无穷小的概念，然后给出了无穷小与一般极限的关系，为接下来研究极限提供了工具。
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●1.12无穷小的运算性质
本节主要介绍无穷小的运算性质，通过证明过程讲解强化大家对极限概念的理解。
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●1.13极限的运算法则
本节利用无穷小与一般极限的关系和无穷小的运算法则，证明极限的和差积商的运算法则，强调了运算法则使用的条件。
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●1.14极限的计算（一）
本节是极限计算的入门课，介绍了极限计算的基本思路和注意事项。例题的讲授细致，需要认真理解。
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●1.15夹逼准则和第一个重要极限
本节首先介绍了判断极限收敛和计算的夹逼准则，然后通过数形结合给出了三角函数的一个不等式关系，最后利用前面两个理论证明了第一个重要极限。
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●1.16第二个重要极限
第二个重要极限
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●1.17无穷小的比较
无穷小的比较特别是等价无穷小是极限计算的重要方法来源，本节结合极限计算的思想介绍无穷小的比较的完整理论，再通过例题给出常见的等价无穷小。
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●1.18极限的计算（二）
本节以等价无穷小的替换原理为背景通过例题介绍极限计算的进一步技巧。
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●1.19函数连续性
本节首先通过数形结合的方法帮助大家理解连续的内涵，进而从极限的角度定义了函数连续的概念。
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●1.20间断点
本节分析了函数不连续的可能情况，进而定义了间断点并区分了不同类型的间断点，给出了具体的例子。
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●1.21闭区间连续函数的性质
闭区间连续函数的性质
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●1.22极限的计算（三）
本节利用初等函数的连续性，给出了极限计算更丰富的例子和方法。
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第二章导数与微分
导数和微分是微积分的核心内容，本章主要介绍导数和微分的基本概念和计算问题。首先通过物理和几何例子引出函数导数的内涵；然后介绍了导数的计算和高阶导数；隐函数和参数方程作为特殊类型的函数，单独研究了它们的求导问题，最后介绍了微分的基本概念和计算法则。
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●2.1导数的基本概念
本节首先利用实例给出函数导数的概念，然后给出了单侧导数的定义并分析了不可导的函数的例子。
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●2.2基本初等函数的导函数
本节通过导数定义和极限计算获得基本初等函数的导数。
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●2.3求导的四则运算法则（一）
本节介绍了函数的和差积商的导数运算法则。
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●2.4求导的四则运算法则（二）
本节通过例题巩固和演习了导数的求导法则，同时熟悉了一些常见函数的导数。
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●2.5反函数的导函数
本节结合函数与反函数的自变量与因变量的对应关系证明了反函数的求导公式，并且通过这个公式获得了反三角函数的导函数。
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●2.6复合函数求导法则
本节主要介绍了复合函数求导的链式法则，并且通过例子介绍了求导法则用法。
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●2.7求导的综合训练
本节通过综合性的例子系统的介绍了一般函数的求导方法和过程。
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●2.8高阶导数（一）
本节通过累计求导的思维介绍了高阶导数，并且给了一些基本的例子。
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●2.9高阶导数（二）
本节介绍了高阶求导的进步一部例子。
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●2.10隐函数求导
本节首先介绍了隐函数，强调了隐函数研究的思想，进而介绍了隐函数求导的方法。
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●2.11由参数方程决定的函数的导数
本节首先介绍了参数方程的求导公式，然后通过例题介绍了参数方程求导和高阶导数的方法。
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●2.12微分（一）
本节通过几何例子引出了函数可微性和微分的概念，也反映了可微的本质。
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●2.13微分（二）
本节介绍微分的几何意义，然后给出了微分的运算法则。
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第三章微分中值定理与导数的应用
学会计算导数和微分是微积分的基本能力，而导数应用是微积分的价值，导数应用的主要理论依据是微分中值定理，本章首先介绍了三个中值定理，紧接着利用中值定理引出洛必达法则，而泰勒公式把中值定理推上了新高度。而通过导数研究函数增减性和图形特征是导数应用的重点。
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●3.1罗尔定理
本节首先详细介绍了费马引理的内容和证明，而罗尔定理是费马引理的自然推论。
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●3.2拉格朗日中值定理
本节首先重点探索了拉格朗日中值定理与罗尔定理的联系，找到拉格朗日中值定理的证明辅助函数的构造过程，也引出了中值定理证明题做辅助函数的方法。
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●3.3洛必达法则
本节介绍了洛必达法则的内容，重点分析了定理的条件，通过例子介绍了洛必达法则的使用。
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●3.4未定型
本节通过例题介绍了七种未定型的解题思路。
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●3.5泰勒公式简介
本节简单介绍了泰勒定理的主要数学思想和内容。
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●3.6函数的单调性
本节主要通过微分中值定理建立了导数符号和函数的单调性的关系，同时讨论了一些理论细节。
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●3.7函数的凹凸性和拐点
本节通过数形结合，讨论了函数的形状有导数变化的关系，从而定义了凹凸性和给出了判别法
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●3.8函数的极值
本节给出了判断函数极值的方法，通过例题巩固了理论。
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第四章不定积分
本章是一元函数积分学的第一部分，主要针对积分与求导的关系引出原函数和不定积分的概念，三种积分方法的介绍是本章的重点，通过大量例题进行了详细的讲解。
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●4.1原函数与不定积分
本节介绍了原函数和不定积分的基本概念，同时根据不定积分与求导的关系，给出一些积分的明显结果。
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●4.2第一换元积分法(一)
第一换元积分法是积分的最基本方法，本节主要介绍第一换元积分法的理论和初等例题。
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●4.3第一换元积分法(二)
本节是在了解第一换元积分法的基本理论的基础上探索更深入的积分技巧。
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●4.4第二换元积分法
本节介绍了第二换元积分法的基本内容和例题。
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●4.5分部积分法
本节从分部积分的理论依据出发，给出了分部积分的转移求导的功能，并通过例题介绍分部积分法能解决的问题类型。
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●4.6不定积分的综合计算（一）
不定积分的综合计算（一）
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●4.7不定积分的综合计算（二）
不定积分的综合计算（二）