第一章绪论

本章内容包括量子力学在物理学中的地位、学习量子力学注意的问题，及经典物理学的困难、量子概念的提出和微粒的波粒二象性。

●1.1量子力学的重要性和学习注意事项

介绍量子力学的研究范畴，量子力学在整个物理学知识体系中占据的地位，量子理论所引发的新技术和新学科，量子力学所蕴含的科学精神、科学思想和科学方法，学习量子力学对创新性思维培养的重要意义，量子力学学习的困难和克服方法。

●1.2经典物理学的困难和量子概念的提出

黑体辐射，光电效应，原子光谱线系等实验现象无法用经典理论解释，介绍普朗克，爱因斯坦，波尔等早期物理学大师如何引入量子概念。通过黑体辐射实验的解释，普朗克引入了能量子的概念；爱因斯坦提出了光子的概念和光的波粒二象性概念，成功解释了光电效应实验；康普顿散射实验的理论解释，充分验证了光的粒子性；原子结构的波尔理论给出了氢光谱的合理解释，引出了定态，量子跃迁，角动量量子化重要概念。

●1.3微粒的波粒二象性

德布罗意在光的波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，也就是德布罗意物质波。重点介绍德布罗意物质波概念的提出背景和具体内容。介绍验证德布罗意波存在的实验，如戴维孙―革末电子衍射实验，电子双缝衍射，及C60干涉实验等。

第二章波函数和薛定谔方程

本章以实验所揭示出的微观粒子的波粒二象性为依据，引进描述微观粒子状态的波函数，并讨论波函数的性质，建立非相对论量子力学的基本方程，薛定谔方程，并把这个方程应用到几个简单并且重要的例子中去，如一维无限深方势阱，线性谐振子和势垒贯穿等典型问题，求出方程的解并解释这些解的物理意义。

●2.1波函数

结合电子衍射实验现象，阐释微观粒子的波动—粒子二重性，通过与经典粒子和经典波动对比，分析两种典型的错误理解，明确波函数的统计解释，并给出波函数的性质分析。结合对电子双缝实验的分析，阐述量子力学态叠加原理，并结合电子在晶体表面的散射实验，阐释任意波函数可以看作平面波的叠加。

●2.2薛定谔方程

分析引进量子力学波函数动力学方程的基本考虑，并以自由粒子的平面波方程为满足基本方程的特例入手，猜出粒子在一般势场中所满足的基本方程—薛定谔方程，并给出多粒子体系的薛定谔方程；有了波函数随时间变化的规律，即薛定谔方程后，来进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化，也就是几率流密度问题，并引出粒子数守恒定律和波函数的标准条件；势场不含时情况下薛定谔方程的求解，简化为求解定态薛定谔方程，给出薛定谔方程的一般解和求解定态问题的一般步骤。

●2.3定态薛定谔方程的典型问题应用

求解一维无限深方势阱，线性谐振子和势垒贯穿等典型问题，掌握求解薛定谔方程的计算步骤，并分析其存在的典型的量子特征。

第三章量子力学中的力学量

量子力学中的力学量和经典力学中的力学量有很大不同，比如针对一个量子状态，由于波粒二象性，坐标和动量就不能同时有确定值。本章讨论力学量怎样用算符来表示，重点介绍动量算符、角动量算符，解决电子在库仑场中运动的问题，阐述厄米算符的性质，分析量子力学算符的对易关系和力学量测量值的联系。

●3.1算符及其基本运算

介绍算符的定义和算符的基本性质和运算规则。具体介绍了坐标算符和动量算符，及由它们组合而成的哈密顿量算符和角动量算符及其它一般的算符。重点分析了描述量子力学力学量的算符—厄米算符，并介绍了厄米算符的一般规则。

●3.2电子在库仑场中的运动

求解电子在库仑场中运动的哈密顿算符的本征方程，得到了能量本征值和相应的本征函数，分析了描述定态波函数的三个量子数，主量子数，角量子数和磁量子数，以及能态的简并度问题。

●3.3厄米算符本征函数的正交性和完备性

论证了在厄米算符存在分立本征值的情况下，简并和非简并情形都存在正交的本征函数系，且本征函数系具有完备性。

●3.4算符与力学量的关系--力学量的测量值

讨论算符的本征值和所描述力学量测量值的关系，给出了平均值公式，分析了力学量有确定测量值的状态，以及量子测量对波函数的影响。

●3.5算符的对易

给出坐标和动量的基本对易关系式，在此基础上给出了角动量的对易关系。论述了两个算符相互对易的关系和它们存在共同本征函数系之间的充要条件，并讨论了力学量完全集的概念，及怎么具体标定一个量子态。论述了对一个特定量子态，测量不同的力学量，是否可以同时测得其本征值的问题，论证了这依赖于算符的对易关系，并讨论了两个非对易力学量的不确定性关系。

●3.6力学量期望值随时间的变化与守恒定律

明确了力学量期望值随时间的变化规律，确定了力学量期望值不随时间变化的具体条件，引出守恒量的概念，并介绍了宇称算符和宇称守恒的条件。

第四章态和力学量的表象

量子态用波函数来表示，波函数为坐标和时间的函数，力学量则用作用于这种函数的算符来表示。这一章要说明，这种表示方式并不是唯一的，量子态也可以选用其它变量的函数来表示，力学量算符也相应发生改变。这一章给出量子态和力学量在不同表象中的具体表示，讨论不同表象之间的变换规则—么正变换，在具体表象中用矩阵运算的方法来求解本征值和本征态问题，介绍狄拉克符号的表示方式和运算规则，引入产生湮灭算符重新讨论谐振子问题。

●4.1态的表象

明确量子力学表象的本质，理解和掌握坐标表象和动量表象间的相互变换关系，由坐标表象的量子态出发，探讨其在其它表象中的具体表示，给出态矢量表示的矩阵形式。

●4.2力学量的表示

讨论任意表象中力学量算符的矩阵表示问题，给出求解力学量在具体表象表示的具体步骤，并讨论了表示力学量算符的矩阵性质。

●4.3量子力学公式的矩阵表述

以动量表象为例，讨论了本征值为连续谱情形下的平均值公式、本征方程和薛定谔方程的表示问题。并讨论了任意表象中，本征值分立谱情况下的平均值公式 、本征方程和薛定谔方程的矩阵形式。

●4.4幺正变换

量子力学中表象的选取，决定于所讨论的问题。表象选择适当，给我们讨论问题带来方便，并能简化具体问题的运算。本节讨论量子态和力学量从一个表象如何变换到另一个表象，引入幺正变换，并讨论幺正变换的一系列性质。

●4.5狄拉克符号

关于量子体系状态和算符的描述，可以离开具体表象。不同的量子力学表象所表达的物理内容完全相同，量子力学规律与选择表象无关。狄拉克由数学理论结合态的叠加原理，构造了这种抽象的不依赖于表象的描述方法。本节讨论狄拉克符号的引入，由狄拉克符号如何表示态矢量，狄拉克符号的运算规则，和狄拉克符号在具体表象中的应用等问题。

●4.6线性谐振子与占有数表象

在处理线性谐振子问题中，引入产生、湮灭算符，粒子数算符，在占有数表象中讨论问题，推导出了引入产生、湮灭算符的运算公式，并给出了物理解释，给出了坐标算符、动量算符和哈密顿量算符在粒子数表象中的具体表示。
从线性谐振子的哈密顿量出发，用代数解法，在占有数表象中重新求解了线性谐振子的能量本征值和本征函数。

第五章微扰理论

前面我们学习了量子力学的基本理论，及使用这些理论精确地解决了一些典型问题。然而，对于大量的实际问题，薛定谔方程能有精确解的情况很少。因此，量子力学求问题近似解的方法就显得特别重要。本章讨论的近似解问题分为两类，一类是体系的哈密顿量不是时间的显函数，讨论定态问题的近似求解，一类是体系的哈密顿量显含时间，重点讨论状态之间的跃迁问题。

●5.1非简并定态微扰理论

首先在可精确求解的量子体系基础上，针对非简并能态和波函数，在一个小的微扰哈密顿量影响下，讨论能级的移动和波函数的变化情况，给出了能级和波函数的一级近似和二级近似公式，讨论了微扰理论的适用条件。然后用微扰理论解决了电谐振子的问题。

●5.2简并情况下的微扰理论

针对能级存在简并的定态问题，在引入微扰后，确定波函数的零级近似和能级的一级近似，并从表象变换的角度认识简并微扰的本质。利用简并微扰理论来处理氢原子一级 Stark 效应。

●5.3变分法及应用求解氦原子基态

理解变分法求解基态问题的物理思想和思路，掌握变分法解决问题的一般步骤，了解氦原子基态如何用变分法来解决。

●5.4与时间有关的微扰理论

讨论含时微扰问题，理解和掌握计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率问题。掌握一阶常微扰和简谐微扰运算步骤，理解费米黄金定则，能级跃迁条件及能量与时间的测不准关系。

第六章自旋与全同粒子

介绍电子自旋概念的提出，电子自旋算符和波函数的表示，解释牵涉到自旋的物理现象，如碱金属光谱线的精细结构、简单塞曼效应、复杂塞曼效应等，掌握角动量的耦合规则。利用全同性原理处理多粒子体系，讨论两个电子的自旋波函数，进而用微扰法解决含有两个电子的氦原子问题。

●6.1电子自旋的实验依据和自旋假设

了解涉及到电子自旋的实验现象，理解在斯特恩—盖拉赫实验基础上提出电子自旋的假设，掌握电子自旋假设的内容。

●6.2电子的自旋算符和自旋函数

理解自旋角动量的纯量子特性，明晰与轨道角动量的联系和区别，掌握自旋角动量及其平方算符和各分量算符的本征值，掌握如何描述含自旋的状态波函数及自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵，掌握自旋算符和自旋量子态在不同表象间的变换，理解斯特恩—盖拉赫实验所涉及的量子测量问题。

●6.3简单塞曼效应

了解塞曼效应的实验现象，掌握采用量子力学理论处理塞曼效应的求解过程，并对实验现象给出物理解释。

●6.4两个角动量耦合

掌握角动量的耦合规则，理解耦合表象和无耦合表象的理论和变换规则，讨论耦合表象和无耦合表象本征函数系的确定和相互表示问题。

●6.5光谱精细结构

掌握在有自旋轨道相互作用的情况下，微扰法处理问题的一般步骤，理解考虑自旋轨道相互作用时，光谱精细结构物理根源，理解如何选择合适的表象来简化问题的处理。

●6.6全同粒子

理解全同性原理引入的必要性，掌握全同性原理的物理内容，掌握由单粒子波函数出发，构造具有对称性质的波函数的方法，掌握Fermi 子和 Bose 子的概念。掌握Fermi 子体系波函数反对称化的行列式表示方法，理解Pauli 不相容原理。

●6.7两个电子的自旋函数

掌握两个电子的自旋波函数在耦合表象和无耦合表象中的力学量完全集和本征函数系的确定问题，以及耦合表象和无耦合表象基矢的相互表示问题。掌握用角动量升降算符来计算两自旋矢量耦合系数的求解方法。

●6.8氦原子

掌握用微扰法求解氦原子问题的方法，能构造两电子体系空间坐标波函数和自旋波函数组成的系列反对称波函数，理解交换能的产生，了解仲氦和正氦的定义。