第一章随机事件与概率

随机事件的概率是概率论研究的基本内容。本章将主要介绍随机事件，随机事件的概率，概率的基本性质，条件概率以及计算概率常用到的几个重要公式。通过本章的学习应初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，学会运用概率方法分析和解决实际问题。

●1.1随机试验与随机事件

 本章节我们学习概率统计研究的对象--随机事件的定义及其相互之间的运算关系。我们将把事件与集合相对应，借助集合的运算法则讨论事件的运算法则。

●1.2频率与概率

本章节我们讨论如何描述事件发生的可能性的大小。首先我们学习频率的定义，分析其优缺点。进而给出概率的统计性定义和公理化定义。随后我们将讨论概率的运算性质。

●1.3古典概型（等可能概型）

不是所有事件的概率都容易求出。本章节我们讨论两种类型的概率模型--古典概型和几何概型。属于这两种类型的事件的概率较容易分析。

●1.4条件概率

本章节我们讨论在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，也就是条件概率。我们将学习条件概率的定义，以及由条件概率引出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

●1.5事件的独立性

有些时候，A事件的发生与否对于B事件的概率没有影响，此时我们称事件A和B相互独立。本小节我们讨论事件独立性的定义。

第二章随机变量及其分布

为了深入研究随机事件及其概率，本章将引入随机变量的概念。在随机试验中，用随机变量的取值来表示随机事件，从而使随机事件的概率及其性质能够利用高等数学的方法分析和研究。这一章将围绕随机变量的分布函数，离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度、随机向量及其分布、随机变量函数的分布等内容进行讨论。其中还重点介绍了几种常见的重要分布。通过本章的学习应初步掌握利用随机变量处理随机现象的基本思想和方法，提高运用概率方法分析和解决实际问题的能力。

●2.1随机变量及其分布函数

本节我们将介绍随机变量及分布函数，讲解如何把形形色色的样本空间数量化、统一化，如何用随机变量表示随机事件，如何用分布函数表示随机事件的概率。

●2.2离散型随机变量及其概率分布

本节我们将讲解离散型随机变量的定义，并介绍什么是概率分布及分布列。此外这里将介绍几种常见的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布及泊松分布。

●2.3连续性随机变量及其概率分布

本节将介绍连续型随机变量的定义及常见的几种连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布及正态分布。

●2.4随机向量及其分布

本节将介绍随机向量的概念及联合分布，以及离散型随机向量及其联合概率分布，同时还将介绍二维连续型随机向量及其联合分布密度、边缘分布和条件分布，了解联合分布与边缘分布之间的关系，如何由联合分布求边缘分布。

●2.5随机变量的独立性

本节将介绍随机变量的独立性，了解如何判断随机变量的独立性。

●2.6随机变量函数的分布

本节将介绍随机变量函数的分布，特别是已知随机变量的分布如何求随机变量函数的分布。此外介绍两种常见的随机变量函数分布：两个随机变量和的分布及最大值最小值分布。

第三章随机变量的数字特征

所谓随机变量的数字特征，是指联系于它的分布函数的某些数，它们反应随机变量的某个方面的特征。第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整的描述随机变量的统计特征。在所列举的常见随机变量的分布函数中，都分别含有一个或多个参数，这些参数往往都是由某些数字特征或其他数值所确定。因此找到了这些特征，分布函数（或概率分布）就完全确定了。但对一般的随机变量，要完全确定它的分布函数就不那么容易了，不过在许多实际问题中，我们并不需要完全知道分布函数，只需知道它的某些数字特征就够了。例如，在测量某物体的长度时，测量结果是一个随机变量，在实际中往往用测量长度的平均数来代表该物体的长度，又如评价某地区的粮食产量，只要知道该地区的平均亩产量就可以了。再如考虑一批日光灯的质量，其平均寿命是一个重要指标，但单就这一点来决定其质量是不够的，往往还需要考虑平均寿命的偏离程度，即只有平均寿命长，平均偏离程度小的日光灯才能说是好的。这些特征往往是由随机变量的数字特征所决定。由此可见，随机变量的数字特征的研究在理论上、实际上都具有重要意义。本章着重介绍几种常见数字特征：数学期望、方差、协方差及矩。通过本章的学习要进一步深化对随机变量的认识，理解几种常见分布中未知参数的确切含义和几何解释。

●3.1数学期望

随机变量的数学期望，是描述随机变量平均取值的数字特征，也是最重要最基本的一个特征。本节主要介绍了离散型，连续型随机变量和随机变量函数的数学期望，以及期望的4条主要性质。

●3.2方差

随机变量的方差描述的是随机变量的波动程度的大小，是随机变量对其数学期望的平均偏离程度。本节主要讲述方差的定义和性质，并介绍一些常见分布的期望方差。

●3.3相关系数与相关阵

本节主要介绍多元随机变量的数字特征，首先讲解衡量两个随机变量相关关系的特征：协方差和相关系数的定义及性质，其次介绍一个重要的数字特征——矩的概念，最后介绍随机向量的数字特征。

第四章大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理是概率论中有关一列相互独立的随机变量的一系列定理。用它们能够解释很多实际现象，其中包括为什么独立重复试验中事件发生的频率具有稳定性，为什么很多实际问题中出现的随机变量服从正态分布或近似地服从正态分布。大数定律与中心极限定理的结论是我们利用正态分布解决实际问题的理论依据。

●4.1大数定律

本章节我们主要学习切比雪夫不等式、切比雪夫大数定律等理论。

●4.2中心极限定理

本章节为我们将讨论林德伯格-列维中心极限定理。

第五章数理统计初步

数理统计是一个应用非常广泛的数学分支，它以概率论作为理论基础。它的任务是研究如何用有效地方法去搜集、整理和分析带有随机性影响的数据，并对所关心的问题作出推断和预测，直接为决策行动提供依据和建议。凡是有大量数据出现的地方都会用到数理统计。也就是说，数理统计是直接从随机现象的观察值去研究它的客观规律。

数理统计的内容十分丰富，本章主要介绍它的基本概念、参数估计和假设检验。通过本章的学习应初步掌握用数理统计处理随机现象的基本思想和方法，提高运用数理统计方法分析和解决实际问题能力。

●5.1样本、总体、统计量

本章节我们学习数理统计的基本概念，包括总体、样品、样本的概念，统计量的定义，以及常用的三大抽样分布等知识。

●5.2参数估计

本节我们主要介绍统计推断中的一部分重要内容——参数估计，包括点估计和区间估计。点估计中，我们主要介绍矩估计和极大似然估计两种方法，并介绍点估计的评价标准。在区间估计部分，首先介绍区间估计的基本概念，然后针对正态总体的情况，介绍一个正态总体均值、方差的区间估计，两个正态总体均值差和方差比的区间估计，单侧置信区间以及总体比值的区间估计。

●5.3假设检验

本节主要介绍统计推断的重要内容——假设检验，包括假设检验的思想和两类错误，一个正态总体均值和方差的假设检验，假设检验和区间估计的联系，以及两个正态总体的假设检验。

第六章回归分析

回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。本章我们主要学习一元线性回归。

●6.1一元线性回归

一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。本章节我们将学习一元线性回归模型的构建、参数估计、以及模型检验和预测。