课程简介
“复变函数论”被数学家誉为“抽象科学中最和谐的理论之一”，它不仅给数学的许多分支提供了重要的工具，而且在自然科学和工程技术的实际应用领域有着广泛的应用。尤其是系统分析、信号分析与处理、量子力学、相对论、流体力学、弹性理论、平面热传导等问题。“积分变换”是一种不可缺少的运算工具，在通信、信号分析、电力工程、控制领域、语音识别及图像处理等方面有着广泛的应用。
本课程较系统、完整的讲解“复变函数与积分变换”理论的基本内容，包括复变函数的概念、解析函数概念、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数理论、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。讲解的过程中注重数学思想传授与数学思维培养，突出体现具有数学思想内涵的基本定理的证明，简化过于繁琐的一般定理的证明，课程主体框架明确，内容由浅及深，力求更容易被学习者所接受。
通过本门课的学习让学习者掌握“复变函数与积分变换”理论的同时，逐步培养学习者具有比较熟练的基本运算能力、一定程度的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和一定程度的自学能力、独立获取知识的能力，以及具备运用数学知识，解决实际问题的能力。为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
课程大纲
复数与复变函数
1.1复数的概念、复数的几何表示
1.2复数的代数运算、复数的代数运算的几何表示
1.3乘幂与方根
1.4复变函数
1.5复变函数的极限与连续性
解析函数
2.1复变函数的导数与微分
2.2解析函数的概念
2.3解析函数的充要条件
2.4指数函数与对数函数
2.5幂函数、三角函数、双曲函数
复变函数的积分
3.1复变函数的积分
3.2复积分存在的条件及计算方法与性质
3.3例题精讲
3.4柯西古萨基本定理
3.5原函数与不定积分
3.6复合闭路定理
3.7柯西积分公式
3.8解析函数的高阶导数
3.9调和函数、解析函数与调和函数的关系
级数
4.1复数项数列、复数项级数
4.2复数项数列及级数例题
4.3复变函数项级数、幂级数
4.4幂级数收敛半径与收敛圆
4.5幂级数的性质
4.6泰勒级数
4.7洛朗级数
4.8洛朗级数的展开
留数
5.1孤立奇点
5.2零点与极点
5.3函数在无穷远点的性态
5.4留数与留数定理
5.5留数计算规则
5.6无穷远点处的留数
傅里叶变换
6.1傅里叶级数
6.2傅里叶变换
6.3单位脉冲函数及其傅里叶变换
6.4傅里叶变换的性质
6.5卷积与卷积定理
6.6傅里叶变换的应用
拉普拉斯变换
7.1拉普拉斯变换及其存在定理
7.2拉普拉斯变换的性质（一）
7.3拉普拉斯变换的性质（二）
7.4卷积与卷积定理
7.5拉普拉斯逆变换
7.6拉普拉斯变换的应用
1.1复数的概念、复数的几何表示
1.2复数的代数运算、复数的代数运算的几何表示
1.3乘幂与方根
1.4复变函数
1.5复变函数的极限与连续性
解析函数
2.1复变函数的导数与微分
2.2解析函数的概念
2.3解析函数的充要条件
2.4指数函数与对数函数
2.5幂函数、三角函数、双曲函数
复变函数的积分
3.1复变函数的积分
3.2复积分存在的条件及计算方法与性质
3.3例题精讲
3.4柯西古萨基本定理
3.5原函数与不定积分
3.6复合闭路定理
3.7柯西积分公式
3.8解析函数的高阶导数
3.9调和函数、解析函数与调和函数的关系
级数
4.1复数项数列、复数项级数
4.2复数项数列及级数例题
4.3复变函数项级数、幂级数
4.4幂级数收敛半径与收敛圆
4.5幂级数的性质
4.6泰勒级数
4.7洛朗级数
4.8洛朗级数的展开
留数
5.1孤立奇点
5.2零点与极点
5.3函数在无穷远点的性态
5.4留数与留数定理
5.5留数计算规则
5.6无穷远点处的留数
傅里叶变换
6.1傅里叶级数
6.2傅里叶变换
6.3单位脉冲函数及其傅里叶变换
6.4傅里叶变换的性质
6.5卷积与卷积定理
6.6傅里叶变换的应用
拉普拉斯变换
7.1拉普拉斯变换及其存在定理
7.2拉普拉斯变换的性质（一）
7.3拉普拉斯变换的性质（二）
7.4卷积与卷积定理
7.5拉普拉斯逆变换
7.6拉普拉斯变换的应用