课程简介
数学分析是以微积分为核心，介绍分析学基本思想的基础课程，一般分三个学期开设。《数学分析（二）：多元微积分》主要讲授多元函数的微分学、积分学以及各种积分之间的联系等。
主要内容分为六章，第一章介绍欧氏空间的各种结构以及连续映射的整体性质与这些结构之间的关系；第二章介绍多元函数的微分学，主要的定理包括反函数/隐函数定理以及求多元函数极值的拉格朗日乘子法；第三章介绍多元函数的积分学，主要的定理包括重积分的变量替换公式以及重积分的计算方法；第四章介绍欧氏空间中沿曲线和曲面的积分以及这些积分之间的联系；第五章介绍含参变量的积分，主要讨论积分号下求导和交换积分次序的问题；第六章介绍场论和微分形式，证明了散度定理、不动点定理等。
本课程以问题为导向展现多元微积分的内涵和分析学的基本思想，目标群体是具有《数学分析（一）：一元微积分》基础、有意学习多元微积分/数学分析的初学者，或学过微积分课程，欲进一步掌握多元函数分析学内涵的人。通过本课程的学习，学习者能掌握像反函数定理/隐函数定理、重积分变量替换公式、Gauss-Green 公式/散度定理等重要定理的完整证明，体会多元分析学的思想，并能应用于实际问题。
课程大纲
引言
1.1 欧氏空间及其代数结构
1.2 欧氏空间的几何结构
1.3 欧氏空间的拓扑结构
1.4 连续映射的整体性质
1.5 欧氏空间的完备性
测验1
多元函数的微分
2.1 方向导数和微分
2.2 切线和切面
2.3 链式法则
2.4 拟微分中值定理
2.5 反函数定理
2.6 隐函数定理
2.7 多元函数的极值
2.8 Lagrange 乘数法
测验2
多元函数的积分
3.1 二重 Riemann 积分
3.2 零测集与可求面积集
3.3 多重 Riemann 积分
3.4 重积分化累次积分
3.5 重积分的变量替换
3.5.1 仿射变换
3.5.2 变量替换公式
3.6 重积分的推广
测验3
曲线积分与曲面积分
4.1 第一型曲线积分
4.2 第二型曲线积分
4.3 第一型曲面积分
4.4 第二型曲面积分
4.5 Green 公式
4.6 Gauss 公式
4.7 Stokes 公式
测验4
含参变量的积分
5.1 含参变量的积分
5.2 含参变量的广义积分
5.2.1 含参变量的广义积分
5.2.2 一致收敛积分的性质
5.2.3 广义积分的次序
5.3 Euler 积分
5.4 Gamma 函数的性质
测验5
拾遗
6.1 梯度场与全微分
6.2 欧氏空间中的微分形式
6.3 曲面上的积分
6.4 外微分运算
6.5 单位分解
6.6 Gauss-Green 公式
6.7 散度定理
6.8 Brouwer 不动点定理
测验6
1.1 欧氏空间及其代数结构
1.2 欧氏空间的几何结构
1.3 欧氏空间的拓扑结构
1.4 连续映射的整体性质
1.5 欧氏空间的完备性
测验1
多元函数的微分
2.1 方向导数和微分
2.2 切线和切面
2.3 链式法则
2.4 拟微分中值定理
2.5 反函数定理
2.6 隐函数定理
2.7 多元函数的极值
2.8 Lagrange 乘数法
测验2
多元函数的积分
3.1 二重 Riemann 积分
3.2 零测集与可求面积集
3.3 多重 Riemann 积分
3.4 重积分化累次积分
3.5 重积分的变量替换
3.5.1 仿射变换
3.5.2 变量替换公式
3.6 重积分的推广
测验3
曲线积分与曲面积分
4.1 第一型曲线积分
4.2 第二型曲线积分
4.3 第一型曲面积分
4.4 第二型曲面积分
4.5 Green 公式
4.6 Gauss 公式
4.7 Stokes 公式
测验4
含参变量的积分
5.1 含参变量的积分
5.2 含参变量的广义积分
5.2.1 含参变量的广义积分
5.2.2 一致收敛积分的性质
5.2.3 广义积分的次序
5.3 Euler 积分
5.4 Gamma 函数的性质
测验5
拾遗
6.1 梯度场与全微分
6.2 欧氏空间中的微分形式
6.3 曲面上的积分
6.4 外微分运算
6.5 单位分解
6.6 Gauss-Green 公式
6.7 散度定理
6.8 Brouwer 不动点定理
测验6